Um estudo da aplicação normal de Gauss e curvaturas

Um estudo da aplicação normal de Gauss e curvaturas

• Autor
• Yasmin Alves Sobrinho Lira
• Co-autores
• Renato Teixiera Gomes
• Resumo

• Com o surgimento da ideia de geometrias não-euclidianas através da negação do axioma das paralelas e consolidadas com as contribuições de Gauss, Bolyai e Lobachevsky, surgiu a necessidade do desenvolvimento de novos métodos e técnicas para explicar localmente como tais geometrias se comportam. Gauss, já conhecendo os estudos de Euler sobre curvaturas principais, publicou um importante trabalho em 1827 intitulado "General Investigations of Curved Surfaces" , onde trazia além do formalismo necessário para a compreenção destas novas geometrias (posteriormente desenvolvido por Riemann e Weyl), uma ideia bem fundamentada sobre curvatura de uma superfície entre outros estudos. Mais tarde, as contribuições de Gauss, Riemann e Weyl se mostraram adequados para explicar a teoria da relatividade especial, o que foi observado inicialmente por um professor de Einstein, Hermann Minkowsky. 

  Este trabalho tem como foco o estudo da aplicação normal de Gauss e curvaturas. Definiremos o conjunto das superfícies regulares e uma forma de medir comprimentos nestas superfícies, chamada primeira forma fundamental. Em seguida, definiremos a segunda forma fundamental, bem como a aplicação normal de Gauss, e como através dela podemos obter informações geométricas de uma superfície regular em ?³. Através do estudo da segunda forma e da aplicação normal de Gauss poderemos então definir as curvaturas Gaussiana e média de uma superfície. Daremos ainda uma expressão em coordenadas para a segunda forma fundamental e, por fim, para as curvaturas Gaussiana e Média.

• Palavras-chave
• Geometria diferencial, Superfície regular, Aplicação de Gauss, Curvaturas
• Área Temática
• Matemática (SEDE)