Aplicações da Teoria de Equações Diferenciais Ordinárias na Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies em $R^3$

Aplicações da Teoria de Equações Diferenciais Ordinárias na Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies em $R^3$

• Autor
• Matheus Rabelo Viana da Costa
• Resumo

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  Ao final do século XVII, o estudo das equações diferenciais ordinárias (EDO's) iniciou-se com a criação do cálculo diferencial e integral, tendo Newton (1642 - 1727) e Leibniz (1646 - 1716) como principais desenvolvedores. Devido a sua grande aplicabilidade para modelagem de princípios, ou leis, da Física, Economia, Biologia e, inclusive, da própria Matemática, a área se consolidou como disciplina independente no início do século XVIII. Ao final deste mesmo século, a Teoria das Equações Diferenciais assume o patamar de uma das disciplinas mais importantes da matemática, tendo métodos eficientes para pesquisa científica graças a contribuições feitas por Euler, Lagrange, Laplace e outros matemáticos. Um dos teoremas mais importantes no estudo das EDO's é o Teorema de Picard, que garante a existência e unicidade de soluções para EDO's de primeira ordem. Se faz necessário mostrarmos alguns conteúdos preliminares de Análise e Topologia de Espaços Métricos para demonstração do teorema, além da demonstração de lemas importantes como o lema da contração. Em seguida, para determinar se a solução de uma equação diferencial de primeira ordem  existe e, neste caso, encontrá-la, é necessário o domínio de métodos para resolver a equação diferencial. Infelizmente, não existe método geral. Em vez disso, iremos demonstrar diversos métodos, cada um aplicável a uma determinada subclasse de equações diferenciais de primeira ordem. Além disso, iremos estudar EDO's lineares de segunda ordem dado sua importância crucial no estudo de equações diferenciais por duas razões. A primeira é devido a existência de diversos métodos sistemáticos de resolução para algumas subclasses de EDO's lineares de segunda ordem, trataremos neste trabalho equações homogêneas e não homogêneas com coeficientes constantes. A segunda razão é que o estudo destas equações diferenciais apresenta uma gama muito grande de aplicações no estudo de fenômenos físicos. Por fim, faremos um breve estudo da geometria diferencial de superfícies, com o objetivo de compreender o transporte paralelo de vetores ao longo de curvas em uma superfície. Assim, estudaremos de forma introdutória a teoria de superfícies regulares, primeira e segunda formas fundamentais, curvaturas gaussiana e média, isometrias e o teorema egregium.

   

• Palavras-chave
• Geometria Diferencial, Equações Diferenciais Ordinárias, Teorema de Picard
• Área Temática
• Matemática (SEDE)